Question

已知函数f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）利用x的范围确定2x+

π

6

的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=

3

sin2x+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）
所以函数的最小正周期为π
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

4

，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

∴当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取最大值2
当2x+

π

6

=-

π

6

时，即x=-

π

6

时，f（x）取得最小值-1

点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．