Question

5．已知函数g（x）=$\frac{1}{6}$x³+$\frac{a+1}{2}$x²+mx+2的导函数g′（x）的图象经过点（0，1），且f（x）=g′（x）+alnx．
（1）求m的值；
（2）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求解g′（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a+1）x+m，利用二次函数求解得出m的值，
（2）根据题意得出f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x+1+lnx．′f（x）=x+2$+\frac{1}{x}$，x＞0，配方得出f′（x）=$\frac{（x+1）^{2}}{x}$，x＞0，利用导数与单调性的关系判断即可．
（3）得出f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a+1）x+1+alnx，′f（x）=x+（a+1）$+\frac{1}{x}$，x＞0，分类讨论，利用基本不等式求解得出，即可得出答案．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{1}{6}$x³+$\frac{a+1}{2}$x²+mx+2，
g′（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a+1）x+m，
∵g′（x）的图象经过点（0，1），
∴g′（0）=1，
即m=1，
（2）当a=-1时，f（x）=g′（x）+alnx．
g（x）=$\frac{1}{6}$x³+x+2的
g′（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+1，
f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+1-lnx．
∴f′（x）=x-$\frac{1}{x}$，x＞0，
∵f′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，x＞0，
当x＞1时，f′（x）＞0，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，
当x=1时，f′（x）=0，
∴f（x）在（1，+∞）单调递增．
f（x）在（0，1）单调递减．
（3）f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a+1）x+1+alnx，
∴′f（x）=x+（a+1）+$\frac{a}{x}$，x＞0，
∵函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴x$+\frac{a}{x}$+（a+1）≥0，
i）当a=0时，在（0，+∞）上有x+1＞0，恒成立，
ii）当a＞0时
∵x$+\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，
∴2$\sqrt{a}$+a+1≥0，
即（$\sqrt{a}$+1）²＞0，x$+\frac{a}{x}$+（a+1）≥0在（0，+∞）上显然成立，
iii）∵当a＜0时，y=x+$\frac{a}{x}$在（0，+∞）上是增函数，
∴x$+\frac{a}{x}$+（a+1）≥0，在（0，+∞）上不可能恒成立
实数a的取值范围：[0，+∞）

点评 本题综合考察了函数的性质，导数在求解单调性中的应用，构造函数，转化为基本不等式求解，综合性强，属于导数与函数结合的常见的题目．