Question

某学校拟建一座长60米，宽30米的长方形体育馆．按照建筑要求，每隔x米需打建一个桩位，每个桩位需花费4.5万元（桩位视为一点且打在长方形的边上），桩位之间的x米墙面需花万元，在不计地板和天花板的情况下，当x为何值时，所需总费用最少？

Answer 1

解：由题意可知，需打个桩位．（3分）
墙面所需费用为：，（5分）
∴所需总费用=（0＜x＜30）（9分）
令，则，
当0＜x＜3时，t′＜0；当3＜x＜30时，t′＞0．
∴当x=3时，t取极小值为．
而在（0，30）内极值点唯一，所以．
∴当x=3时，（万元），
即每隔3米打建一个桩位时，所需总费用最小为1170万元．（14分）
分析：由题意可得出需打的桩位个数，进而得到墙面所需费用和所需总费用的函数表达式，再利用导数研究它的极值，进而得出此函数的最大值即可．
点评：利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定．当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值．