题目内容
17．已知{an}是等差数列．（1）2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9呢？为什么？
（2）2an=an-1+an+1（n＞1）是否成立？据此你能得出什么结论？
2an=an-k+an+k（n＞k＞0）是否成立？你又能得出什么结论？
分析 （1）设出等差数列的首项和公差，由等差数列的通项公式求得2a5=a3+a7，2a5=a1+a9；
（2）由等差数列的通项公式分别求得2an=an-1+an+1（n＞1），2an=an-k+an+k（n＞k＞0）由等式的特点得到等差数列的一般性结论．
解答 解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则a5=a1+4d，a3=a1+2d，a7=a1+6d，a9=a1+8d，
∴2a5=2a1+8d，a3+a7=2a1+8d，a1+a9=2a1+8d．
则2a5=a3+a7；2a5=a1+a9；
（2）2an=2[a1+（n-1）d]=2a1+2（n-1）d，
an-1+an+1=a1+（n-1-1）d+a1+（n+1-1）d=2a1+2（n-1）d，
∴2an=an-1+an+1（n＞1）成立．
由此可知，在有穷等差数列中，除首项和末项外，每一项都是它前后两项的等差中项；
2an=2[a1+（n-1）d]=2a1+2（n-1）d，
an-k+an+k=a1+（n-k-1）d+a1+（n+k-1）d=2a1+2（n-1）d，
∴2an=an-k+an+k（n＞k＞0）成立．
由此可知，在有穷等差数列中，除首项和末项外，每一项都是距它等距离两项的等差中项．
点评 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，关键是对规律的理解与与记忆，是中档题．
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