Question

记号[f（x）]表示不大于f（x）的最大整数，已知f(x)=

ex

ex+1

-

1

2

，则函数[f（x）]+[f（-x）]的值域为（　　）

A．（-1，1）

B．{1，0，-1}

C．{0，-1}

D．{0}

Answer 1

分析：根据指数式e^x＞0，求得函数f(x)=

ex

ex+1

-

1

2

的值域为（-

1

2

，

1

2

）．并由此得到当x≥0时，f（x）∈[0，

1

2

)；当x＜0时，f（x）∈(-

1

2

，0)．同理当x＞0时，f（-x）∈(-

1

2

，0)；当x≤0时，f（x）∈[0，

1

2

)，再结合取整函数的定义，经过讨论即可得到函数[f（x）]+[f（-x）]的值域．

解答：解：令y=

ex

ex+1

-

1

2

=（1-

1

ex+1

）-

1

2

=

1

2

-

1

ex+1

∵e^x＞0，得e^x+1＞1，∴

1

ex+1

∈（0，1），
因此函数f(x)=

ex

ex+1

-

1

2

的值域为（-

1

2

，

1

2

）．
当x≥0时，f（x）∈[0，

1

2

)；当x＜0时，f（x）∈(-

1

2

，0)
同理可得：当x＞0时，f（-x）∈(-

1

2

，0)；当x≤0时，f（x）∈[0，

1

2

)
∴当x＞0时，[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1；当x＜0时，[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1
而当x=0时，[f（x）]+[f（-x）]=0+0=0
因此，函数[f（x）]+[f（-x）]的值域为{0，-1}
故选C

点评：本题给出含有指数式的分式形式的函数，再结合取整函数的定义求另一函数的值域，着重考查了基本初等函数值域的求法和取整函数的概念等知识，属于基础题．