Question

已知c＞0且c≠1，设p：指数函数y=（2c-1）^x在R上为减函数，q：不等式x+（x-2c）²＞1的解集为R．若p∧q为假，p∨q为真，求c的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出当p，q为真命题时的c的取值范围，然后由题意可得p和q有且只有一个正确，然后分两类由交集的运算可得答案．

解答：解：当p正确时，
∵函数y=（2c-1）^x在R上为减函数，∴0＜2c-1＜1
∴当p为正确时，

1

2

＜c＜1；
当q正确时，
∵不等式x+（x-2c）²＞1的解集为R，
∴当x∈R时，x²-（4c-1）x+（4c²-1）＞0恒成立．
∴△=（4c-1）²-4•（4c²-1）＜0，∴-8c+5＜0
∴当q为正确时，c＞

5

8

．
由题设，p和q有且只有一个正确，则
（1）p正确q不正确，∴

1 2 ＜c＜1 0＜c≤ 5 8

∴

1

2

＜c≤

5

8

（2）q正确p不正确∴

0＜c≤ 1 2   ，  c＞1 c＞ 5 8

∴c＞1
∴综上所述，c的取值范围是（

1

2

，

5

8

]∪（1，+∞）

点评：本题为变量取值范围的求解，涉及函数的单调性和一元二次不等式的解法，属基础题．