Question

已知c＞0且c≠1，设p：指数函数y=（2c-1）^x在R上为减函数，q：不等式x²-（4c-1）+（4c²-1）＞0的解集为R．若p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

Answer 1

分析：由指数函数y=（2c-1）^x在R上为减函数，解得c的范围；由不等式x²-（4c-1）+（4c²-1）＞0的解集为R，利用判别式，求出c的范围．p和q有且仅有一个正确，由此能求出c的取值范围．

解答：解：由指数函数y=（2c-1）^x在R上为减函数，得：0＜2c-1＜1，可得p：

1

2

＜c＜1．
由不等式x²-（4c-1）+（4c²-1）＞0的解集为R，得：（4c-1）²-4（4c²-1）＜0，解得q：c＞

5

8

，
p和q有且仅有一个正确，p真q假，可得：

1

2

＜c≤

5

8

．
q真p假，可得：c≥1．
∴c的取值范围：（

1

2

，

5

8

]∪[1，+∞）．

点评：本题考查命题的真假判断及其应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．