Question

已知f（x）是偶函数，且在（-∞，0）上递减，若x∈[

1

2

，1]时，f（ax+1）≤f（x+2）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[-4，2]
• B、（-∞，2]
• C、[-4，+∞）
• D、[-4，-2]

Answer 1

分析：先利用偶函数的定义把f（ax+1）≤f（x+2）?f（|ax+1|）≤f（|x+2|），再利用其单调性转化为|ax+1|≤|x+2|；对其两边平方整理后利用分类讨论的方法分别求出实数a的取值范围最后综合即可．

解答：解：因为f（x）是偶函数，故有f（x）=f（-x）=f（|x|）
所以f（ax+1）≤f（x+2）在 x∈[

1

2

，1]上恒成立?f（|ax+1|）≤f（|x+2|）在 x∈[

1

2

，1]上恒成立 ①；
又因为在[0，+∞）上是增函数，
故①式转化为|ax+1|≤|x+2|在 x∈[

1

2

，1]上恒成立?（a²-1）x²+2（a-2）x-3≤0  ②；
在 x∈[

1

2

，1]上恒成立．
a=1时，②转化为-2x-3≤0?x≥-

3

2

成立；
a=-1时，②转化为2x+1≥0?x≥-

1

2

成立；
|a|＞1时，得a²-1＞0，②转化为

(a2-1)×( 1 2 )2+2(a-2)× 1 2 -3≤0  (a2-1)×1+2(a-2)×1-3≤ 0

，
?-4≤a≤2（a≠±1）．
综上得：实数a的取值范围为[-4，2]．
故选A．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性．在偶函数的定义应用中，因为其在关于原点对称的区间上单调性相反，所以在作题过程中，一般是利用f（x）=f（-x）=f（|x|）把变量转化到同一个单调区间内．