Question

【题目】已知双曲线 右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥FB，设∠ABF=θ且 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.（2，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′． ∵AF⊥FB，∴四边形AFBF′为矩形．
因此|AB=|FF′|=2c．
则|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．
∵|AF′|﹣|AF|=2a．
∴2ccosθ﹣2csinθ=2a．
即c（cosθ﹣sinθ）=a，
则e= = = ，
∵ ，
∴ ∈（ ， ），
则cos（ ）∈（0， ），
cos（ ）∈（0， ），
则 = ，
即e＞ ，
故双曲线离心率的取值范围是 ，
故选：C