Question

15．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y），其中x、y为任意正实数；③任意正实数x、y满足x＞y时，f（x）＞f（y），试回答下列问题：
（1）求f（1）、f（4）；
（2）试判断函数f（x）的单调性；
（3）如果f（x）+f（x-3）≤2，试求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件，只需取x=y=1，便可求出f（1），而由f（4）=f（2）+f（2），f（2）=1，便可求出f（4）=2；
（2）根据f（x）满足的条件③，根据增函数的定义即可得出该函数为增函数；
（3）根据条件及（1）（2），便可由f（x）+f（x-3）≤2得到x（x-3）≤4，再由f（x）的定义域（0，+∞）便可得到不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{x（x-3）≤4}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出x的取值范围．

解答 解：（1）取x=y=1得，f（1）=f（1）+f（1）；
∴f（1）=0；
f（4）=f（2）+f（2）=2；
（2）设x₁＞x₂＞0；
则根据条件，f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）根据f（x）满足的条件②及2=f（4），由f（x）+f（x-3）≤2得，f[x（x-3）]≤f（4）；
∴根据f（x）为增函数得：x（x-3）≤4；
再由f（x）的定义域，便得到不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{x（x-3）≤4}\end{array}\right.$；
解得3＜x≤4；
∴x的取值范围为（3，4]．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义判断一个函数为增函数的方法，增函数定义用于解不等式．