题目内容
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
(Ⅰ)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
(Ⅱ)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
(半个椭圆的面积公式为S＝
lh，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果均精确到0.1米)
答案：
解析：
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[解] (Ⅰ)如图建立直角坐标系，则点P(11，4.5)，椭圆方程为 将b＝h＝6与点P坐标代入圆方程，得a＝ (Ⅱ)[解一]由椭圆方程 因为 此时l＝2a＝22 故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小． [解二] 由椭圆方程 a2b2＝ 即ab≥99，当S取最小值时，有a2－121＝ 得a＝11 |
＋
＝1．
，此时l＝2a＝
≈33.3． 因此隧道的拱宽约为33.3米．
＋
＝1，得
＋
＝1．
＋
≥
，即ab≥99，且l＝2a，h＝b，所以S＝
lh＝
≥
． 当S取最小值时，有
＋
，得a＝11
，b＝
≈31.1，h＝b≈6.4．
·
，
(a2－121＋
＋242)≥
(
＋242)＝81×121，
，
，b＝
．以下同解一．
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