题目内容
△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A=
，a=
．
（1）若△ABC的面积为
，求△ABC的周长；
（2）设B=x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的表达式和最大值．
| π |
| 3 |
| 3 |
（1）若△ABC的面积为
| ||
| 2 |
（2）设B=x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的表达式和最大值．
分析：（1）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinA和已知的面积值代入求出bc的值，记作①，再由余弦定理得到a2=b2+c2-2bc•cosA，将a，cosA及bc的值代入求出b2+c2的值，记作②，联立①②求出b与c的值，进而得出三角形的周长；
（2）由A的度数，及B=x，利用三角形的内角和定理表示出C的度数，由a与sinA的值，利用正弦定理分别表示b与c，进而表示出三角形的周长，得到关于y的关系式，把关系式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后前两项提取2
，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围，得到这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质即可得到正弦函数的最大值，进而得到y的最大值．
（2）由A的度数，及B=x，利用三角形的内角和定理表示出C的度数，由a与sinA的值，利用正弦定理分别表示b与c，进而表示出三角形的周长，得到关于y的关系式，把关系式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后前两项提取2
| 3 |
解答：解：（1）∵A=
，a=
，且△ABC的面积为
，
∴S△ABC=
bcsinA=
bc=
，
∴bc=2①，
由余弦定理a2=b2+c2-2bc•cosA得：3=b2+c2-bc=b2+c2-2，
∴b2+c2=5②，
联立①②，解得a=1，b=2或a=2，b=1，
则△ABC的周长为a+b+c=
+2+1=3+
；
（2）∵A=
，B=x，
∴C=π-A-B=
-x，
由正弦定理
=
=
得：
b=
=
=2sinx，c=
=
=2sin（
-x），
∴周长y=a+b+c=
+2sinx+2sin（
-x）
=
+2sinx+2sin
cosx-2cos
sinx
=3sinx+
cosx+
=2
（
sinx+
cosx）+
=2
sin（x+
）+
，
∵0＜x＜π，∴
＜x+
＜
，
则当x+
=
，即x=
时，ymax=3
．
| π |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| ||
| 2 |
∴bc=2①，
由余弦定理a2=b2+c2-2bc•cosA得：3=b2+c2-bc=b2+c2-2，
∴b2+c2=5②，
联立①②，解得a=1，b=2或a=2，b=1，
则△ABC的周长为a+b+c=
| 3 |
| 3 |
（2）∵A=
| π |
| 3 |
∴C=π-A-B=
| 2π |
| 3 |
由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
b=
| asinB |
| sinA |
| ||||
|
| asinC |
| sinA |
| ||||
|
| 2π |
| 3 |
∴周长y=a+b+c=
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=3sinx+
| 3 |
| 3 |
=2
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
=2
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
∵0＜x＜π，∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
则当x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：三角形的面积公式，正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及正弦函数的定义域和值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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