Question

如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB=105°，∠CBA=45°，且AB=100m．
（1）求sin∠CAB的值；
（2）求该河段的宽度．

Answer 1

分析：（1）由题意，利用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值加以计算即可得sin∠CAB的值；
（2）由题意画出简图，在三角形中利用正弦定理先求出BC的长度，然后过点C作CD垂直于对岸，垂足为D，由题意可得CD的长就是该河段的宽度，解出△ACB的BC长后再在△BDC中即可解出BD长，可得该河段的宽度．．

解答：解：（1）sin∠CAB=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°
=

3

2

×

2

2

+

1

2

×

2

2

=

6 + 2

4

；
（2）∵∠CAB=105°，∠CBA=45°
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=30°，
由正弦定理得

AB

sin∠ACB

=

BC

sin∠CAB

，
得BC=

ABsin105°

sin30°

=50(

6

+

2

)（m），
如图过点C作CD垂直于对岸，垂足为D，则CD的长就是该河段的宽度．
∵在Rt△BDC中，∠BCD=∠CBA=45°，
∴BD=BCsin45°=50（

6

+

2

）•

2

2

=50（

3

+1）（m）．
答：（1）求sin∠CAB的值为

6 + 2

4

；（2）该河段的宽度为50（

3

+1）（m）．

点评：本题给出实际问题，求河岸的宽度，着重考查了学生对题意的理解，还考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦公式，查了学生的计算能力，属于基础题．