Question

已知函数f(x)=

a

2

x2-4x+lnx有两个极值点．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若存在实数a，使函数f（x）在区间[b，b+2]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，由题意知，导数等于0有两个正根，分a＜0和a＞0两种情况讨论．
（Ⅱ）由题意知，?a∈（0，4），使ax²-4x+1≥0对x∈[b，b+2]恒成立，即 a＞-(

1

x

)2+

4

x

=-(

1

x

-2)2+4 恒成立，由4＞-(

1

x

)2+4•

1

x

=-(

1

x

-2)2+4恒成立，故x≠

1

2

，由b＞0，根据

1

2

不在区间[b，b+2]内，求出实数b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=ax-4+

1

x

=

ax2-4x+1

x

(x＞0)，由题意：a≠0，又
①当a＜0时，

1

a

＜0，f'（x）=0两根异号，不合题意；
②当a＞0时，

2

a

＞0可知△=16-4a＞0，即0＜a＜4，
此时由f′（x）=0得，x1=

2- 4-a

a

，x2=

2+ 4-a

a

，（4分）
由下表

故当0＜a＜4时，函数f（x）的两个极值点．（6分）
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得“?a∈（0，4），使ax²-4x+1≥0对x∈[b，b+2]恒成立”，
即 a＞-(

1

x

)2+

4

x

=-(

1

x

-2)2+4 恒成立，由[b，b+2]?（0，+∞）得b＞0，
又4＞-(

1

x

)2+4•

1

x

=-(

1

x

-2)2+4恒成立，
∴x≠

1

2

，b+2≤

1

2

，或b≥

1

2

，从而b≥

1

2

．（13分）

点评：本题考查函数在某点存在极值的条件，利用导数判断函数的单调性的方法，以及函数的恒成立问题．