题目内容

已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若4sin2
B+C
2
-cos2A=
7
2
，b+c=
3
a，求A、B、C的大小．
分析：由已知中4sin2
B+C
2
-cos2A=
7
2
，我们可以根据同角三角函数关系及二倍角公式，我们可以构造关于A的三角方程，解方程即可求出A，由b+c=
3
a，利用正弦定理，我们进一步可以求出B，C值，得到答案．
解答：解：∵4sin2
B+C
2
-cos2A=
7
2
，
即4
1-cos(B+C)
2
-（2cos2A-1）=
7
2
，
∴2+2cosA-2cos2A+1=
7
2
，
即2cos2A-2cosA+
1
2
=0
解得cosA=
1
2

∵A∈（0，π）
∴A=
π
3

又b+c=
3
a，由正弦定理得：sinB+sinC=
3
sinA=
3
2

∴sin（
2π
3
-C）+sinC=
3
2

∴sin（C+
π
6
）=
3
2

∴C+
π
6
=
π
3
，或C+
π
6
=
2π
3

∴C=
π
6
，或C=
π
2

∴A=
π
3
，B=
π
6
，C=
π
2
，或A=
π
3
，B=
π
2
，C=
π
6
点评：本题考查的知识点是正弦定理，同角三角函数关系，二倍角公式，其中根据已知条件构造满足条件的三角方程是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC中，A=60°，a=
15
，c=4，那么sinC=
2
5
5
2
5
5
．
已知△ABC中，A（4，2），B（1，8），C（-1，8）．
（1）求AB边上的高所在的直线方程；
（2）直线l∥AB，与AC，BC依次交于E，F，S△CEF：S△ABC=1：4．求l所在的直线方程．
已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，则边长c=
3
3
．
已知△ABC中，a=2
3
，若
m
=(-cos
A
2
，sin
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，sin
A
2
)满足
m
•
n
=
1
2
．（1）若△ABC的面积S=
3
，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．
已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围．

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