题目内容
已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且| (AB)2 |
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
| CA |
| CB |
（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围．
分析：（Ⅰ）由条件
=
•
+
•
+
•
，化简可得
•
=0．从而△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形．哟与t=sinA+sinB=
sin（A+
），A∈（0，
），故可求sinA+sinB的取值范围为(1，
]
（Ⅱ）条件a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，分离参数可得
≥k，从而问题转化为求
的最小值，构造函数f（t）=
=t+
=t+
=t-1+
+1．从而问题可解．
| (AB)2 |
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 2 |
（Ⅱ）条件a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，分离参数可得
| a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) |
| abc |
| a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) |
| abc |
| a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) |
| abc |
| 1+t | ||
|
| 2 |
| t-1 |
| 2 |
| t-1 |
解答：解：（Ⅰ）∵
=
•
+
•
+
•
，
∴
=
(
+
) +
•
，即
=
•
+
•
，即
•
=0．
∴△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
sin（A+
），A∈（0，
），
∴sinA+sinB的取值范围为(1，
]．-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．
若a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
则有
≥k，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
∵
=
[c2sin2A（ccosA+c）+c2cos2A（csinA+c）+c2（csinA+ccosA）]
=
[sin2AcosA+cos2A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+
令t=sinA+cosA，t∈(1，
]，-----------------------------------------（10分）
设f（t）=
=t+
=t+
=t-1+
+1．
f（t）=t-1+
+1，当t-1∈(0，
-1]时 f（t）为单调递减函数，
∴当t=
时取得最小值，最小值为2+3
，即k≤2+3
．
∴k的取值范围为（-∞，2+3
]．--------------------------（14分）
| (AB)2 |
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
| CA |
| CB |
∴
| (AB)2 |
| AB |
| AC |
| CB |
| CA |
| CB |
| AB2 |
| AB |
| AB |
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
∴△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴sinA+sinB的取值范围为(1，
| 2 |
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．
若a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
则有
| a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) |
| abc |
∵
| a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) |
| abc |
=
| 1 |
| c3sinAcosA |
=
| 1 |
| sinAcosA |
| 1+cosA+sinA |
| sinAcosA |
令t=sinA+cosA，t∈(1，
| 2 |
设f（t）=
| a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) |
| abc |
| 1+t | ||
|
| 2 |
| t-1 |
| 2 |
| t-1 |
f（t）=t-1+
| 2 |
| t-1 |
| 2 |
∴当t=
| 2 |
| 2 |
| 2 |
∴k的取值范围为（-∞，2+3
| 2 |
点评：本题主要考查三角形形状的判断，考查不等式恒成立问题，有一定的综合性．
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