Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a²-b²=bc，sinC=2sinB．
（Ⅰ）若b=2，求c；
（Ⅱ）求∠A的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知第二个等式，得到c=2b，由b=2，即可求出c的值；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将已知第一个等式及c=2b代入计算求出cosA的值，即可求出A的度数．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中利用正弦定理得

c

sinC

=

b

sinB

，
∴

sinC

sinB

=

c

b

，
∵sinC=2sinB，
∴

sinC

sinB

=2，
∴

c

b

=2，即c=2b，
∵b=2，
∴c=2b=4；
（Ⅱ）在△ABC中，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
∵a²-b²=bc，即b²-a²=-bc，
∴cosA=

c2-bc

2bc

，
∵c=2b，
∴cosA=

4b2-2b2

4b2

=

1

2

，
∴A=60°．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．