Question

（2013•杨浦区一模）在△ABC中，若∠A=

π

4

，tan（A+B）=7，AC=3

2

，则△ABC的面积为

21

2

．

Answer 1

分析：利用三角形的内角和，求解tanC，通过同角三角函数的基本关系式，求解sinC的值，利用A求解sinB，通过正弦定理求解c，然后求解△ABC的面积．

解答：解：在△ABC中，∵A+B+C=π，∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）
∵tan（A+B）=7，∴tanC=-7，∴

sinC

cosC

=-7
∵sin²C+cos²C=1，C∈（0，π），
∴sinC=

7 2

10

∵∠A=

π

4

，tan（A+B）=7，∴

1+tanB

1-tanB

=7
∴tanB=

3

4

∵C∈（0，π），∴sinB=

3

5

∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，代入得到c=7
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×3

2

×7×sin

π

4

=

21

2

故答案为：

21

2

点评：本题考查三角形的内角和，同角三角函数的基本关系式的应用，正弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．