题目内容

设函数 $数学公式$ ．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[2，3]上单调递减，求a的取值范围．

解：（1）a=0时， $\text{[math]}$ ，∴f′（1）=1
∴f（1）= $\text{[math]}$ ，∴曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y- $\text{[math]}$ =x-1，即 $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ ，记g（x）=x²+（1-a）x+a-1
∵函数f（x）在区间[2，3]上单调递减
∴x²+（1-a）x+a-1≤0在区间[2，3]上恒成立
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴a≥ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求导函数，确定确定坐标，与切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）求导数 $\text{[math]}$ ，记g（x）=x²+（1-a）x+a-1，利用函数f（x）在区间[2，3]上单调递减，可得x²+（1-a）x+a-1≤0在区间[2，3]上恒成立，从而可建立不等式组，即可求a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导是关键．