Question

【题目】已知椭圆的中心和抛物线的顶点都在坐标原点， 和有公共焦点，点在轴正半轴上，且的长轴长、短轴长及点到直线的距离成等比数列。

（Ⅰ）当的准线与直线的距离为时，求及的方程；

（Ⅱ）设过点且斜率为的直线交于， 两点，交于， 两点。当时，求的值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）： ， ： （Ⅱ）

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件“的长轴长、短轴长及点到直线的距离成等比数列”建立方程求得，从而求出的右准线方程为，然后借助题设“的准线与直线的距离为”建立方程求出，求出及的方程；（2）先建立直线的方程： ，后与椭圆方程联立，借助已知求出的值，再与曲线的方程联立求出的值：

解：（Ⅰ）设： ，其半焦距为 ．则： ．

　　　由条件知，得．

　　　的右准线方程为，即．

　　　的准线方程为．

　　　由条件知，　所以，故， ．

　　　从而： ， ： ．

（Ⅱ）由题设知： ，设， ， ， ．

　　　由（Ⅰ）知，即

由， 知满足 ，

从而　　　

由条件,得， 故： ．

由 得，所以

于是