Question

在平面直角坐标系中，设二次函数f（x）=3x²-2x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为A．
（1）求实数c的取值范围；
（2）求圆A的方程；
（3）问圆A是否经过某定点（其坐标与c无关）？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别令x=0及y=0，△＞0即可得出；
（2）设出圆的一般方程与（1）比较即可得出；
（3）利用曲线系即可得出．
解答：解：（1）令x=0，得f（0）=c，∴抛物线与y轴的交点为（0，c）．
令f（x）=3x²-2x+c=0，由题意可得：c≠0且△=4-12c＞0，
解得c＜且c≠0．
（2）设圆A：x²+y²+Dx+Ey+F=0．
令y=0得：x²+Dx+F=0，与3x²-2x+c=0是同一个方程．
∴，．
令x=0得y²+Ey+F=0，此方程有一个解c．∴，得E=-c-．
∴圆A的方程为：．
（3）由化为．
令，解得，x=0或．
∴圆必过定点或．
点评：熟练掌握圆的一般方程与曲线系等是解题的关键．