Question

如图，梯形ABCD中，CD//AB，，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角的大小为120⁰．

（I）求证：；

（II）求直线PD与平面BCDE所成角的大小；

（III）求点D到平面PBC的距离.

Answer 1

I）证明见解析  （II）直线PD与平面BCDE所成角是．

（III）．

解析:

（I）连结AC交DE于F，连结PF．

，．

又，，

，

即CA平分．                                   

是正三角形，

，即PF⊥DE，CF⊥DE，

∴DE⊥面PCF，∴DE⊥PC．                               

（II）过P作于O，连结OD，设AD = DC = CB = a，则AB = 2a，

∵DE⊥面PCF，∴DE⊥PO，

∴PO⊥面BCDE，

∴∠PDO就是直线PD与平面BCDE所成的角．                  

∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角，

∴∠PFO = 60°，在RT△POD中，，

直线PD与平面BCDE所成角是．

（III）∵DE∥BC，DE在平面PBC外，，点到面的距离即为点F到面PBC的距离，过点F作FG⊥PC，垂足为G．

∴DE⊥面PCF，

．，

，

∴FG的长即为点F到面PBC的距离．                        

在菱形ADCE中，，．

，，

．