Question

设函数f（x）=

x+sinx

x

．
（Ⅰ） 判断f（x）在区间（0，π）上的增减性并证明之；
（Ⅱ） 若不等式0≤a≤

x-3

+

4-x

对x∈[3，4]恒成立，求实数a的取值范围M；
（Ⅲ）设0≤x≤π，且a∈M，求证：（2a-1）sinx+（1-a）sin（1-a）x≥0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，x∈（0，π），设g（x）=xcos x-sin x，x∈（0，π），求导数，可得g（x）在（0，π）上为减函数，从而x∈（0，π）时，g（x）＜0，进而可得f（x）在（0，π）上是减函数；
（Ⅱ） 先求得（

x-3

+

4-x

）_min=1，根据0≤a≤

x-3

+

4-x

对一切x∈[3，4]恒成立，即可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）显然当a=0，1或x=0，π时，不等式成立．当0＜a＜1且0＜x＜π，原不等式等价于（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sin x．先证明一个更强的不等式：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sin x=（1-a）²sin x，再根据（1-2a+a²）sin x＞（1-2a）sin x，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

sinx

x

+1，∴f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，x∈（0，π）．
设g（x）=xcos x-sin x，x∈（0，π），则g′（x）=-xsin x＜0（∵x∈（0，π））．
∴g（x）在（0，π）上为减函数，又∵g（0）=0，
∴x∈（0，π）时，g（x）＜0，
∴f′（x）=

g(x)

x2

＜0，
∴f（x）在（0，π）上是减函数．（6分）
（Ⅱ）∵（

x-3

+

4-x

）²=1+2

(x-3)(4-x)

，
∴x=3或4时，（

x-3

+

4-x

）²_min=1，
∴（

x-3

+

4-x

）_min=1．
又0≤a≤

x-3

+

4-x

对一切x∈[3，4]恒成立，
∴0≤a≤1．
（Ⅲ）证明：显然当a=0，1或x=0，π时，不等式成立．
当0＜a＜1且0＜x＜π，原不等式等价于（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sin x．（10分）
下面证明一个更强的不等式：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sin x=（1-a）²sin x　①
即sin（1-a）x≥（1-a）sin x．　②
亦即

sin(1-a)x

(1-a)x

≥

sinx

x

．
由（1）知

sinx

x

在（0，π）上是减函数，
又∵（1-a）x＜x，∴

sin(1-a)x

(1-a)x

＞

sinx

x

．（12分）
∴不等式②成立，从而①成立．
又∵（1-2a+a²）sin x＞（1-2a）sin x，∴（1-a）sin（1-a）x＞（1-2a）sin x．
综上，∴0≤x≤π且0≤a≤1时，原不等式成立．（14分）

点评：本题考查导数知识的而运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，有一定的综合性．