Question

（2013•嘉兴一模）已知等差数列{a_n}的公差不为零，且a₃=5，a₁，a₂．a₅成等比数列
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）若数列{b_n}满足b₁+2b₂+4b₃+…+2^n-1b_n=a_n求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，

a1a5=a22 a3=5

，利用等差数列的通项公式可表示已知，解方程可求a₁，d，代入等差数列的求和公式即可求解
（II）由b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，可得b₁+2b₂+4b₃+…+2ⁿb_n+1=a_n+1，两式相减可求

解答：解：（I）设等差数列的公差为d
由题意可得，

a1a5=a22 a3=5

∴

a1(a1+4d)=(a1+d)2 a1+2d=5

解可得，

a1=1 d=2

∴Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n+n（n-1）=n²
（II）∵b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，
∴b₁+2b₂+4b₃+…+2^n-1b_n=a_n，
b₁+2b₂+4b₃+…+2ⁿb_n+1=a_n+1，
两式相减可得，2ⁿb_n=2
∴bn+1=21-n
n=1时，b₁=a₁=1
∴bn=

1，n=1 4 2n ，n≥2

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及性质的简单应用，数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用．