Question

（12分）已知函数

(Ⅰ)当时,求函数的最小值;

(Ⅱ)若对任意,恒成立,试求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ) 时,取得最小值.(Ⅱ) .

【解析】

试题分析：（1）先将原式化成求解导数f‘(x)，再利用导数的正负与函数单调性的关系，即可求得函数f（x）的最小值；

（2）原题等价于x²+2x+a＞0对x∈[1，+∞）恒成立，再结合二次函数的单调性只须g（1）＞0，从而求得实数a的取值范围；

解(Ⅰ) 时,(因为)

所以,在上单调递增,故时,取得最小值.

(Ⅱ) 因为对任意,恒成立,即恒成立,只需恒成立，只需,因为,

所以,实数的取值范围是.

考点：本题主要考查了函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

点评：解决该试题的关键是是对于同一个问题的不同的处理角度，可以运用均值不等式得到最值，也可以结合导数的工具得到最值，对于恒成立问题一般都是转换为求解函数的 最值即可得到。