Question

已知四棱椎S-ABCD中，底面是边长为2的正方形，每条侧棱长都是2

2

，P是侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小．

Answer 1

分析：（I）连接BD交AC于点O，连接SO，根据等腰△ACS中，SO是底边的中线，可得AC⊥SO，结合正方形ABCD中AC⊥BD，证出AC⊥平面SBD，从而得到AC⊥SD；
（II）连结OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，可得AC⊥OP且AC⊥OD，因此∠POD是二面角P-AC-D的平面角．Rt△SDO中，利用余弦算出∠SDO=60°，从而得到Rt△POD中∠POD=30°，即得二面角P-AC-D的大小．

解答：解：（I）连接BD交AC于点O，连接SO
∵△ACS中，SA=SC=2

2

，O是AC中点，∴AC⊥SO
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，SO∩BD=O
∴AC⊥平面SBD，
∵SD?平面SBD，∴AC⊥SD；
（Ⅱ）∵正方形ABCD边长为2，SD=2

2

∴OD=

2

2

×2=

2

，
可得Rt△SDO中，cos∠SDO=

OD

SD

=

1

2

，得∠SDO=60°，
连结OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，
∴AC⊥OP，且AC⊥OD，
所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．
∵SD⊥平面PAC，可得SD⊥OP，
∴Rt△POD中，∠POD=90°-∠SDO=30°，即二面角P-AC-D的大小为30°．

点评：本题给出侧棱长为底面边长的

2

倍的正四棱锥，求证线线垂直并求垂直于侧棱的平面与底面所成的求二面角的大小，着重考查了空间线面垂直的判定与性质、二面角大小的求法和正棱锥的性质等知识，属于中档题．