Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且当n≥2时，a，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n
（II）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和Sn
（III）是否存在正整数对（m，n），使等式成立？若存在，求出所有符合条件的（m，n）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知可得，数列{a_n}是等比数列，结合已知及等比数列的通项公式可求
（II）由b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ，结合通项的特点考虑利用错位相减求和
（III）假设存在正整数对（m，n），使得等式，把已知a_n的通项代入可整理出m与n的关系式，结合基本不等式可求m的最小值，进而可求
解答：解：（I）由已知可得，数列{a_n}是等比数列
∵a₁=2，a₂=4
∴=2
∴=2ⁿ
（II）∵b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ
∴
 2S_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，
=2
=-6+2^n-2-n•2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹
∴
（III）假设存在正整数对（m，n），使得等式
∵
∴2²ⁿ=m（2ⁿ-4）成立
∵m∈N^*∴2ⁿ＞4
∴==
当且仅当2ⁿ-4=4即n=3时取等号
∵2ⁿ＞4
∴
∴2ⁿ-4=1或2或8或16，此时均无解
故符合题意的正整数对只有（16，3）
点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，数列的递推公式的应用，错位相减求和方法的应用及一定的逻辑推理与运算的能力