Question

已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为D₁C₁，C₁B₁的中点，AC∩BD＝P，A₁C₁∩EF＝Q.求证：

(1)D，B，E，F四点共面；

(2)若A₁C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线．

Answer 1

证明：

如图所示．(1)连接B₁D₁.∵E，F分别为D₁C₁，C₁B₁的中点，∴EF∥B₁D₁，

又∵B₁D₁∥BD，

∴EF∥BD，

∴EF与BD共面，

∴E，F，B，D四点共面．

(2)∵AC∩BD＝P，

∴P∈平面AA₁C₁C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA₁C₁C∩平面BDEF.

∵A₁C∩平面DBFE＝R，

∴R∈平面AA₁C₁C∩平面BDEF，

∴P，Q，R三点共线．