Question

若A，B均在抛物线y²=-8x上，点O为坐标原点，且OA⊥OB，则直线AB一定会经过点________．

Answer 1

（-8，0）
分析：设出AB的方程，A，B的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而利用抛物线方程求得y₁y₂=的表达式，进而根据AO⊥BO推断出x₁x₂+y₁y₂=0，求得b与k的关系，即可求出结果．
解答：显然直线AB的斜率存在，记为k，AB的方程记为：y=kx+b，（b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线方程代入y²=-8x得：k²x²+（2kb+8）x+b²=0，则有：
x₁+x₂=-，x₁x₂=，又y₁²=-8x₁，y₂²=-8x₂
∴y₁y₂=；
∵AO⊥BO，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
得：b=8k
∴直线AB的方程为y=kx+8k，
∴直线AB过定点（-8，0）
故答案为：（-8，0）．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，涉及到直线与圆锥线的问题一般是联立方程，设而不求，属于中档题．