Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）上的点到右焦点F的最小距离是-1，F到上顶点的距离为，点C（m，0）是线段OF上的一个动点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得（+）⊥，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知a-c=-1且，解得a=，b=c=1，由此可求出椭圆的方程．
（2）假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），代入，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由根与系数的关系结合题设条件能够导出不存在这样的直线l．
解答：解：（1）由题意可知a-c=-1且，
解得a=，b=c=1，
∴椭圆的方程为；
（2）由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1．
假设存在满足题意的直线l，设l的方程为
y=k（x-1），代入，
得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，①
∴，
∴，
∵而AB的方向向量为（1，k），
∴
∴当0≤m＜时，k=±，即存在这样的直线l；
当≤m≤1时，k不存在，即不存在这样的直线l．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合知识，解题时要认真审题，仔细解答．