Question

已知，设曲线在点处的切线为。
（1）求实数的值；
（2）设函数，其中。
求证：当时，。

Answer 1

（1）；（2）见解析；

解析试题分析：（1）利用导数的几何意义可得在处的切线斜率为0及联立方程解得；（2）将代入得的解析式，解析式中含有参数，所以对进行分类讨论，再利用求导数来讨论函数的单调性，求出在的最小值和最大值即可；
试题解析：解：（1），               2分
依题意，且。            3分
所以。
解得。                     4分
（2）由（1）得。
所以。
。                  6分
当时，由得，由得。
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，是的极小值点。8分
当，时，，
所以的最小值为，最大值为。      9分
设，则，
因为，所以。
所以在上单调递减，
所以，。         11分
所以，当，时，。
又因为，，               12分
。                        13分
所以当时，