Question

在△ABC中，三边a、b、c成等差数列，则角B的取值范围是

（0，

π

3

]

．

Answer 1

分析：设出三角形的三边分别为a，b，c，由三边成等差数列，利用等差数列的性质可知2b=a+c，利用余弦定理表示出cosB，然后把b=

1

2

（a+c）代入，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围及余弦函数在此区间为减函数即可得到B的范围

解答：解：设三角形的三边分别为a，b，c，
∵三边成等差数列，∴b=

a+c

2

，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，当且仅当a=c时取等号，
又B∈（0，π），且余弦函数在此区间为减函数，
则B∈（0，

π

3

]．
故答案为：（0，

π

3

]

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，等差数列的性质，基本不等式，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．