Question

[理]如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M为PC的中点，N点在AB上且AN=

1

3

NB．
（1）证明：MN∥平面PAD；
（2）求直线MN与平面PCB所成的角．

Answer 1

分析：（1）要证MN∥平面PAD，只需在面PAD内找到一条直线和MN平行即可，而根据条件，易作辅助线过M作ME∥CD交PD于E，连接AE，下证MN∥AE；（2）求直线MN与平面PCB所成的角，关键找直线MN在平面PCB内的射影，而根据条件，易作辅助线过N点作NQ∥AP交BP于点Q，NF⊥CB交CB于点F，连接QF，过N点作NH⊥QF交QF于H，连接MH，下证NH⊥平面PBC，∴∠NMH为直线MN与平面PCB所成的角．解△MNH即可．

解答：解：（1）证明：过M作ME∥CD交PD于E，连接AE．
∵AN=

1

3

NB，
∴AN=

1

4

AB=

1

2

DC=EM．
又EM∥DC∥AB，∴EM∥AN，且EM=AN
∴AEMN为平行四边形，
∴MN∥AE，又AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．

（2）过N点作NQ∥AP交BP于点Q，NF⊥CB交CB于点F，
连接QF，过N点作NH⊥QF交QF于H，连接MH．
易知QN⊥平面ABCD，∴QN⊥BC，而NF⊥BC，
∴BC⊥平面QNF，
∴BC⊥NH，而NH⊥QF，∴NH⊥平面PBC，
∴∠NMH为直线MN与平面PCB所成的角．
通过计算可得MN=AE=

2

2

，QN=

3

4

，NF=

3

4

2

，
∴NH=

QN•NF

QF

=

QN•NF

QN2+NF2

=

6

4

，
∴sin∠NMH=

NH

MN

=

3

2

，∴∠NMH=60°．
∴直线MN与平面PCB所成的角为60°．

点评：考查线面平行的判定定理，在应用此定理时一定突出线在面外，和该 面内的一条直线平行；考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．