Question

等差数列{a_n}的公差d∈（0，1），且

sin2a2-sin2a6

sin(a2+a6)

=-1，当n=10时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最小值，则首项a₁的取值范围为（　　）

• A．(-

  5

  8

  π，-

  9

  16

  π)
• B．[-

  5

  8

  π，-

  9

  16

  π]
• C．[-

  5

  4

  π，-

  9

  8

  π]
• D．(-

  5

  4

  π，-

  9

  8

  π)

Answer 1

分析：利用倍角公式把给出等式的分子降幂，利用和差化积结合等差中项概念求出公差，再利用数列{a_n}的前10项和S₁₀取得最小值列式求出首项a₁ 的取值范围．

解答：解：sin2a2=

1

2

(1-cos2a2)
sin2a6=

1

2

(1-cos2a6)
sin（a₂+a₆）=sin2a₄
于是cos2a₆-cos2a₂=-2sin2a₄
-2sin（a₆+a₂）sin（a₆-a₂）=-2sin2a₄．
sin4d=1，0＜d＜1．
于是d=

π

8

．
因为数列{a_n}的前10项和S₁₀取得最小值，
于是a₁₀≤0且a₁₁≥0
a₁+9d≤0，且a₁+10d≥0
得-

5

4

π≤a1≤-

9

8

π．
故选C．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，考查了三角函数的和差化积公式，属中档题．