题目内容

如果一个数列的各项均为实数,且从第二项起开始,每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.
(1)若数列{bn}是等方差数列,b1=1,b2=3,求b7
(2)是否存在一个非常数数列的等差数列或等比数列,同时也是等方差数列?若存在,求出这个数列;若不存在,说明理由.
(3)若正项数列{an}是首项为2、公方差为4的等方差数列,数列{
1
an
}
的前n项和为Tn,是否存在正整数p,q,使不等式Tn
pn+q
-1
对一切n∈N*都成立?若存在,求出p,q的值;若不存在,说明理由.
分析:(1)利用等方差数列的定义求出公方差,即可求得b7的值;
(2)若数列{an}是等差数列,设an=an+b(a,b∈R),利用{an}也是等方差数列,应有an2-an-12=k(k为与n无关的常数),从而可得an=b必为一常数数列;若数列{an}是等比数列,利用{an}也是等方差数列,应有an2-an-12=k(k为与n无关的常数),可得q=±1,再验证即可;
(3)先求数列{
1
an
}
的前n项和,再假设存在正整数p,q,使不等式Tn
pn+q
-1
对一切n∈N*都成立,猜想p=q=1,再进行证明.
解答:解:(1)由{bn}是等方差数列,b1=1,b2=3,有公方差d=32-12=8,------(1分)
于是b72=1+(7-1)×8=49,∴b7=±7------------------------------(3分)
(2)若数列{an}是等差数列,设an=an+b(a,b∈R),则an2=a2n2+2abn+b2
要使{an}也是等方差数列,应有an2-an-12=k(k为与n无关的常数),得a2=0,即a=0,这时an=b必为一常数数列,因此不存在一个非常数数列的等差数列,同时也是等方差数列.-----(5分)
若数列{an}是等比数列,设an=a1qn-1(q为公比且q≠0),则an2=a12q2n-2
要使{an}也是等方差数列,应有an2-an-12=k(k为与n无关的常数),即a12q2n-2-a12q2n-4=a12q2n-4(q2-1)=k,所以必有q2=1,q=±1,----------(7分)
当q=1时,数列{an}是常数数列,故舍去
当q=-1时,所以存在一个非常数数列的等比数列,同时也是等方差数列,其公比q=-1.--(9分)
(3)由于{an}是首项为2,公方差为4的等方差数列,∴an2=a12+(n-1)d=4+4(n-1)=4n
an=2
n
,------(10分)
∴数列{
1
an
}
的前n项和为:Tn=
1
2
(
1
1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)
---(11分)
假设存在正整数p,q使不等式
1
2
(
1
1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)>
pn+q
-1
对一切n∈N*都成立.
1
1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>2(
pn+q
-1)

当n=1时,1>2(
p+q
-1)
,∴p+q<
9
4
,又p,q为正整数,∴p=q=1.--(13分)
下证明:
1
1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>2(
n+1
-1)
对一切n∈N*都成立.
由于
1
n
=
2
n
+
n
2
n+1
+
n
=2(
n+1
-
n
)(n∈N*)

所以
1
1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>2[(
2
-1)+(
3
-
2
)+…+(
n+1
-
n
)]=2(
n+1
-1)
.(16分)
点评:本题考查新定义,考查等差数列与等比数列的综合,考查学生分析解决问题的能力,正确理解新定义是关键.
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