Question

已知数列a_n（n∈N*）的前n项和为S_n．若S_n满足（2n-1）S_n+1=（2n+1）S_n+4n²-1，是否存在a₁，使数列a_n为等差数列？若存在，求出a₁的值；若不存在，请说明理由；

Answer 1

分析：整理题设的递推式得

Sn+1

2n+1

-

Sn

2n-1

=1进而判断出{

Sn

2n-1

}是以S₁=a₁为首项，1为公比的等差数列，进而根据等差数列的性质求得

Sn

2n-1

表达式，进而求得S_n，进而根据a_n=S_n-S_n-1求得a_n，进而根据a₂-a₁=4求得a₁，进而判断出存在a₁=1，使数列a_n为等差数列．

解答：解：∵（2n-1）S_n+1=（2n+1）S_n+4n²-1，
∴

Sn+1

2n+1

-

Sn

2n-1

=1(n∈N*)
∴{

Sn

2n-1

}是以S₁=a₁为首项，1为公比的等差数列，
∴S_n=（a₁+n-1）（2n-1）=2n²+（2a₁-3）n+（1-a₁），
当n=1时，S₁=a₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n+2a₁-5，
∵数列a_n为等差数列，
∴a₂-a₁=4?a₁+3=4?a₁=1．
∴存在a₁=1，使数列a_n为等差数列．．

点评：本题主要考查了等差关系的确定．解题的关键是利用好题设中递推式．