题目内容
(2012•大连二模)已知向量
,
满足
=(-2sinx,
cosx+
sinx),
=(cosx,cosx-sinx),函数,f(x)=
•
(x∈R).
(I)将f(x)化成Asin((ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π的形式;
(Ⅱ)已知数列an=
f(
-
)(n∈N*),求{an}的前2n项和S2n.
a |
b |
a |
3 |
3 |
b |
a |
b |
(I)将f(x)化成Asin((ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π的形式;
(Ⅱ)已知数列an=
n | 2 |
nπ |
2 |
11π |
24 |
分析:(I)根据向量数量积的坐标运算公式,结合三角恒等变换公式化简整理,即可得到f(x)=2sin(2x+
);
(II)由(I)的结论,得an=2n2sin(nπ-
),根据三角函数的周期,可得n为奇数时sin(nπ-
)=
;n为偶数时sin(nπ-
)=-
,因此S2n=
[12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2],结合等差数列的通项与求和公式,即可算出S2n的表达式.
2π |
3 |
(II)由(I)的结论,得an=2n2sin(nπ-
π |
4 |
π |
4 |
| ||
2 |
π |
4 |
| ||
2 |
2 |
解答:解(Ⅰ)∵
=(-2sinx,
cosx+
sinx),
=(cosx,cosx-sinx),
∴f(x)=
•
=-2sinxcosx+
(cos2x-sin2x)
=-sin2x+
cos2x=2sin(2x+
)…(4分)
(Ⅱ)an=n2f(
-
)=2n2sin(nπ-
)…(6分)
∵t=sin(nπ-
)的最小正周期为T=
=2
∴n为奇数时,t=sin(nπ-
)=
;n为偶数时t=sin(nπ-
)=-
因此,
S2n=
[12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2]…(8分)
又(2n-1)2-(2n)2=-4n+1…(10分)
所以S2n=2[12×(
)+22×(-
)+32×(
)+42×(-
)+…+(2n)2×(-
)]
=
[12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2]
=
[-1-2-3-4-…-(2n-1)-2n]
=
×
=-
n-2
n2…(12分)
a |
3 |
3 |
b |
∴f(x)=
a |
b |
3 |
=-sin2x+
3 |
2π |
3 |
(Ⅱ)an=n2f(
nπ |
2 |
11π |
24 |
π |
4 |
∵t=sin(nπ-
π |
4 |
2π |
π |
∴n为奇数时,t=sin(nπ-
π |
4 |
| ||
2 |
π |
4 |
| ||
2 |
因此,
S2n=
2 |
又(2n-1)2-(2n)2=-4n+1…(10分)
所以S2n=2[12×(
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
=
2 |
=
2 |
=
2 |
2n(-1-2n) |
2 |
2 |
2 |
点评:本题给出向量含有三角函数式的坐标,求函数f(x)的表达式并依此求数列的前n项之和.着重考查了三角恒等变换、等差数列的通项与求和等知识,属于基础题.
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