Question

已知矩形ABCD的边AB=a，BC=4，PA⊥平面ABCD，PA=2，如果BC边上存在点M，使PM⊥MD，则a的取值范围是

（0，2]

．

Answer 1

分析：连结AM，根据条件，要使PM⊥MD，则DM⊥面PAM，即DM⊥AM即可．然后利用圆的性质，只要保证以AB为直径的圆和BC有交点即可．

解答：解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM，
若BC边上存在点M，使PM⊥MD，
则DM⊥面PAM，
即DM⊥AM，
∴以AD为直径的圆和BC相交即可．
∵AD=BC=4，
∴圆的半径为2，
要使线段BC和半径为2的圆相交，
则0＜AB≤2，
即0＜a≤2，
∴a的取值范围是（0，2]．
故答案为：（0，2]．

点评：本题主要考查线面垂直的性质的应用，将线面垂直转化为直线垂直进而利用圆的性质是解决本题的关键．