题目内容

已知函数f（x）=log_a[（ $数学公式$ -2）x+1]在区间[1，3]上的函数值大于0恒成立，则实数a的取值范围是

A.
（1，+∞）
B.
（0， $数学公式$ ）
C.
（ $数学公式$ ，1）
D.
（ $数学公式$ ， $数学公式$ ）

D
分析：设g（x）=（ $\text{[math]}$ ）x+1，x∈[1，3]可得g（x）=（ $\text{[math]}$ ）x+1是定义域上的单调函数，即 $\text{[math]}$ 解得：0＜a＜ $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ 在区间上[1，3]恒成立，
所以 $\text{[math]}$ ．
解答：设g（x）=（ $\text{[math]}$ ）x+1，x∈[1，3]
所以g（x）=（ $\text{[math]}$ ）x+1是定义域上的单调函数，
根据题意得 $\text{[math]}$ 解得：0＜a＜ $\text{[math]}$
因为函数 $\text{[math]}$ 在区间上[1，3]的函数值大于0恒成立
所以 $\text{[math]}$ 在区间上[1，3]恒成立
所以 $\text{[math]}$ 在区间上[1，3]恒成立
因为0＜a＜ $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ 在区间上[1，3]恒成立
即 $\text{[math]}$ 在区间上[1，3]恒成立
所以 $\text{[math]}$
解得a＞ $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
所以实数a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：本题主要考查不等式的恒成立问题，解决此题的关键是准确的利用不等式的性质转化不等式，利用充分条件得出最后的结果．

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