Question

半径为1的球内切于圆锥，已知圆锥母线与底面夹角为2θ.

（1）求证：圆锥的母线与底面圆半径之和为；

（2）求证：圆锥的全面积为；

（3）当θ为何值时，圆锥的全面积最小?

Answer 1

(1)证明:作圆锥轴截面如图所示，设底面圆半径为r,母线长为l.

由∠PBC=2θ，得∠OBC=∠OBE=θ且OC=OE=1.

r=BC=OC·cotθ=cotθ,

PE=OE·cot(-2θ)=tan2θ,

∴l+r=PE+2r=.

(2)证明:∵l=PB=PE+EB=PE+BC=,

∴S_圆锥全=πr²+πrl=πr(r+l)=.

(3)解析:由（2），要使S_全最小，只需tan²θ(1-tan²θ)最大，

而tan²θ(1-tan²θ)≤,

故tan²θ=1-tan²θ,

即tanθ=(θ为锐角）.

∴θ=arctan时，有S_全最小==8π.