题目内容
设［a,b］是函数y=f(x)定义域内的一个闭区间.如果对任意的x1、x2∈［a,b］且x1≠x2,有f(
)＞
［f(x1)+f(x2)］,那么称函数y=f(x)在区间［a,b］上为凸函数;如果对任意的x1、x2∈［a,b］,且x1≠x2,有f(
)＜
［f(x1)+f(x2)］,那么称函数y=f(x)在区间［a,b］上为凹函数.(1)判定函数f(x)=
在定义域［0,+∞)上是凹函数还是凸函数,并证明你的结论;
(2)判定函数f(x)=2x在定义域(-∞,+∞)上是凹函数还是凸函数,并证明之.
解析:(1)函数y=的图象如图所示.
由图形易知,任给x1、x2∈［0,+∞),
＞(
),
∴函数f(x)=
在［0,+∞)上为凸函数.
证明:任取x1、x2∈［0,+∞),且x1≠x2,
(
)2-［
(
)］2
=
(x1+x2-
)
=
(
)2＞0,
∴(
)2＞［
(
)］2.
∴
＞
(
),
即满足f(
)＞
［f(x1)+f(x2)］.
∴函数f(x)=x在［0,+∞)上是凸函数.
(2)函数f(x)=2x图象如下.
从图形知在(-∞,+∞)上函数y=2x是凹函数.
证明:任取x1、x2∈(-∞,+∞)且x1≠x2,则
-
(
)=-
(
)=
∵x1≠x2,∴
,即
.
∴
2＜0,
即
＜
.
∴函数f(x)=2x在(-∞,+∞)上是凹函数.
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对任意x∈R+恒成立”的既不充分也不必要条件
)＞
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)＜
［f(x1)+f(x2)］,那么称函数y=f(x)在区间［a,b］上为凹函数.