题目内容

设函数f(x)=ax3+bx2－3a2x+1(a、b∈R)在x=x1，x=x2处取得极值，且|x1－x2|=2.

(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范围.

解：                     ①  

当a=1时，

 ；

由题意知x1,x2为方程的两根，所以

，得b=0，

从而。

当时，；当时，

故在（-1，1）单调递减，在单调递增    

（Ⅱ）由①式即题意知x1,x2为方程的两根，所以，

 

从而

由上式及题设知。

考虑

故g（a）在单调递增，在单调递减，从而g（a）在（0，1]的极大值为

，又g（a）在（0，1]上只有一个极值，所以为g（a）在（0，1]上的最大值。且最小值为g（1）=0.

所以，即b的取值范围为。

练习册系列答案
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设函数f(x)=ax+
a+1
x
 (a＞0)，g（x）=4-x，已知满足f（x）=g（x）的x有且只有一个．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f(x)+
m
x
＞1对一切x＞0恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）若函数h（x）=k-f（x）-g（x）（k∈R）在[m，n]上的值域为[m，n]（其中n＞m＞0），求k的取值范围．
设函数f(x)=ax-
bx
，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0，
（1）求y=f（x）的解析式，并求其单调区间；
（2）用阴影标出曲线y=f（x）与此切线以及x轴所围成的图形，并求此图形的面积．
设函数f(x)=
ax-1x+1
；其中a∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．
设函数f(x)=ax-
bx
，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
设函数f(x)=ax-
bx
，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间．

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