Question

【题目】已知函数

（1）若对任意，恒成立，求的值；

（2）设，若没有零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）对函数求导得 ，通过单调性可知当时，函数取得极大值；若对任意，在上恒成立，

当且仅当，，即恒成立，得即，构造函数，通过单调性求的值.

（2），求导得

构造函数，则在区间内存在唯一零点，通过单调性求得的取值范围.

解：（1），

当时，，在上是增函数；

当时，在上是减函数；

故当时，函数取得极大值.

若对任意，在上恒成立，

当且仅当，，即恒成立，

得即.

设，则.

当时，是增函数；

当时，是减函数，

所以当时，取得极大值，得.

所以，可得.

（2），所以

，

设，则在上是增函数，

又，

所以在区间内存在唯一零点，

即.

当时，，即；

当时，，即，所以在上是减函数，

在上是增函数，所以.

因为没有零点，所以，

即，所以的取值范围是.