Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，an=

1

2

(an-1+an-2)，（n=3，4，…）；数列{b_n}是首项为b₁=1，公比为-2的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=na_nb_n（n=1，2，3，…），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an=

1

2

(an-1+an-2)得an-an-1=

1

2

(an-1+an-2)-an-1=-

1

2

(an-1-an-2)，（n≥3）．由此能导出数列{a_n}的通项公式．由数列{b_n}是首相为b₁=1，公比为-2的等比数列，能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）cn=nanbn=n[

5

3

-

2

3

(-

1

2

)n-1]•(-2)n-1=

5n

3

•(-2)n-1-

2n

3

，记T_n=1•（-2）⁰+2•（-2）+3•（-2）²++n•（-2）^n-1，由错位相减法能导出Tn=

(3n+1)(-2)n-1

3

，由此能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由an=

1

2

(an-1+an-2)，
得an-an-1=

1

2

(an-1+an-2)-an-1=-

1

2

(an-1-an-2)，（n≥3）（2分）
又∵a₂-a₁=1≠0，
∴数列{a_n+1-a_n}是首项为1公比为-

1

2

的等比数列，
∴an+1-an=(-

1

2

)n-1．
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+(-

1

2

)+(-

1

2

)2++(-

1

2

)n-2
=1+

1-(- 1 2 )n-1

1+ 1 2

=

5

3

-

2

3

(-

1

2

)n-1，（4分）
经检验它对n=1，2也成立，
∴数列{a_n}的通项公式为an=

5

3

-

2

3

(-

1

2

)n-1（5分）
∵数列{b_n}是首相为b₁=1，
公比为-2的等比数列．
∴b_n=1×（-2）^n-1=（-2）^n-1．（7分）

（Ⅱ）cn=nanbn=n[

5

3

-

2

3

(-

1

2

)n-1]•(-2)n-1=

5n

3

•(-2)n-1-

2n

3

，
S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=

5

3

[1•(-2)0+2•(-2)+3•(-2)2+…+n•(-2)n-1]-

2

3

(1+2+…+n)
=

5

3

[1•(-2)0+2•(-2)+3•(-2)2+…+n•(-2)n-1] -

n(n+1)

3

（10分），
记T_n=1•（-2）⁰+2•（-2）+3•（-2）²+…+n•（-2）^n-1，①
则2T_n=1•（-2）¹+2•（-2）²+…+（n-1）•（-2）^n-1+n•（-2）ⁿ②，
由①-②得：-T_n=（-2）⁰+（-2）+（-2）²+…+（-2）^n-1-n•（-2）ⁿ
=

1-(-2)n

3

-n•(-2)n，
∴Tn=

(3n+1)(-2)n-1

3

（12分）
∴Sn=

5

3

•

(3n+1)(-2)n-1

3

-

n(n+1)

3

=

5

9

•[(3n+1)(-2)n-1]-

n(n+1)

3

（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．