Question

【题目】如图，三棱锥中，，底面为正三角形.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若平面，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，一般通过线面垂直性质定理，即先证线面垂直，耳线面垂直的判定，往往从线线垂直出发，其中线线垂直的寻找与论证往往利用平几知识：取的中点，则由等腰三角形性质得，，进而可证线面垂直（Ⅱ）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解

试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，

∵，

∴，

又，

∴，

∴.………………………………5分

（Ⅱ）平面且交于，，

∴，则可建立如图所示的空间直角坐标系.

又，为正三角形，

∴，.

设为平面的法向量，则，

∴，∴，

取，则为平面的一个法向量，

又为平面的一个法向量，

∴，

则二面角的余弦值为.…………………12分