Question

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求证：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；
（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x₁、x₂（x₁＜x₂）；求实数m的取值范围，并证明：F(x2)＞-

3+4ln2

16

．

Answer 1

分析：（1）设G（x）=x²-x-lnx，根据其导函数得到其最小值即可得到结论成立；
（2）先令h（x）=f（x）-ag（x）；根据h（1）=0得到h（x）≥0的必要条件是h'（0）=0；求出a即可；
（3）先求出其导函数，把问题转化为方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根，再结合根与系数的关系得到m的范围；进而得到m与x₂之间的关系；最后通过对关于x₂的函数的求导，找到其最值点，即可得到结论成立．

解答：解：（1）设G（x）=x²-x-lnx，
故G′(x)=

(2x+1)(x-1)

x

（x＞0）…2'
∴G（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增
∴G（x）≥G（1）=0
∴f（x）≥g（x）…2'
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）
∵h（1）=0
所以h（x）≥0的必要条件是h'（0）=0，得a=1…3'
当a=1时，由（1）知h（x）≥0恒成立．
所以a=1…2'
（3）因为F（x）=f（x）+mg（x）=x²-x+mlnx，所以F′(x)=

2x2-x+m

x

   (x＞0)，
F（x）有两个极值点x₁、x₂等价于
方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根
∴

△＞0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

得  0＜m＜

1

8

…2'
由F'（x）=0得m=-2x₂²+x₂，（0＜x1＜

1

4

＜x2＜

1

2

）
∴F（x₂）=x₂²-x₂+（x₂-2x₂²）lnx₂
设?(x)=x2-x+(x-2x2)lnx ， (

1

4

＜x＜

1

2

)，
得?'（x）=（1-4x）lnx＞0，∴?(x)＞?(

1

4

)=-

3+4ln2

16

所以F(x2)＞-

3+4ln2

16

…4'

点评：本题主要考查学生会求函数的导函数，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．