Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=∠ADC=

π

2

、AB=AD=2CD=4，作MN∥AB，连接AC交MN于P，现沿MN将直角梯形ABCD折成直二面角

（I）若M为AD中点时，求异面直线MN与AC所成角；
（Ⅱ）证明：当MN在直角梯形内保持MN∥AB作平行移动时，折后所成∠APC大小不变；
（Ⅲ）当点M在怎样的位置时，点M到面ACD的距离最大？并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（I）MN∥DC，DC⊥平面ADM，则∠ACD为异面直线MN与AC所成角，利用正切函数，可得结论；
（II）利用余弦定理，可求∠APC大小；
（Ⅲ）由题意，平面ACD⊥平面AMD，则过M作ME⊥AD，ME⊥平面ACD，故ME为点M到面ACD的距离，利用等面积，即可求解．

解答：（I）解：由题意，MN∥DC，DC⊥平面ADM，则∠ACD为异面直线MN与AC所成角
∵DM=AM=2，DM⊥AM
∴AD=2

2

∴tan∠ACD=

2

∴∠ACD=arctan

2

；
（II）证明：设MP=a，则AM=2a，DM=4-2a，
∴AP=

5

a，PC=

(2-a)2+(4-2a)2

=

5a2-20a+20

，AC=

4a2+(4-2a)2+4

=

8a2-16a+20

∴cos∠APC=

5a2+5a2-20a+20-8a2+16a-20

2 5 a• 5 (2-a)

=-

1

5

为定值，
∴MN在直角梯形内保持MN∥AB作平行移动时，折后所成∠APC大小不变；
（Ⅲ）解：由题意，平面ACD⊥平面AMD，则过M作ME⊥AD，ME⊥平面ACD，
∴ME为点M到面ACD的距离
由（II）知，ME=

2a(4-2a)

(2a)2+(4-2a)2

=

2a(2-a)

2a(a-2)+4

令t=2a（2-a），则1≥t＞0，ME=

t

t+4

=

1

1 t + 4 t2

=

1

4( 1 t + 1 8 )2- 1 16

∴t=1时，ME取得最大值

5

5

，此时M是AD的中点．

点评：本题考查空间角与空间距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．