题目内容

椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于点A、B，C是AB的中点，若|AB|=2，OC的斜率为，求椭圆的方程.

解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0,

    而=-1,=kOC=,

    代入上式可得b=2a,再由|AB|=|x2-x1|=2，其中x1、x2是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0的两根，故()2-4·=4,

    将b=a代入得a=,∴b=.∴所求椭圆的方程是x2+y2=3.

练习册系列答案
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设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|=2
2
，OC的斜率为
2
2
，求椭圆的方程．
若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为
2
2
，且OA⊥OB，求椭圆的方程．
（理）椭圆ax2+by2=1与直线y=-x+1交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线斜率为
2
2
，则
a
b
=
 
．
椭圆ax2+by2=1与直线y=1-2x相交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为
3
2
，则
a
b
的值为（　　）
椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|=2
2
，OC的斜率为
2
2
，求椭圆的方程．

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