Question

定义“正对数”：，现有四个命题：

①若，则

②若，则

③若，则

④若，则

其中的真命题有：__________.（写出所有真命题的编号）

 

Answer 1

①③④

【解析】

试题分析：

因为定义的“正对数”：是一个分段函数 ，所以对命题的判断必须分情况讨论：

对于命题①（1）当，时，有，从而，，所以；（2）当，时，有，从而，，所以；这样若，则，即命题①正确.

对于命题②举反例：当时，，

所以，即命题②不正确.

对于命题③，首先我们通过定义可知“正对数”有以下性质：，且，（1）当，时，，而，所以；（2）当，时，有，，而，因为，所以；（3）当，时，有，，而，所以；（4）当，时，，而，所以，综上即命题③正确.

对于命题④首先我们通过定义可知“正对数”还具有性质：若，则，（1）当，时，有，从而，，所以；（2）当，时，有，从而，，所以；（3）当，时，与（2）同理，所以；（4）当，时，，，因为，所以，从而，综上即命题④正确.

通过以上分析可知：真命题有①③④.

考点：指数函数、对数函数及不等式知识的综合.