题目内容
（2011•重庆模拟）已知焦点在x轴上的椭圆的左右焦点分别为F1、F2，椭圆的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，点P是椭圆上一动点且△F1F2P的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F2作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A，B两点，点M（m，0）是x轴上不同于原点的一个动点，求满足条件(
+
)⊥
的实数m的取值范围．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F2作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A，B两点，点M（m，0）是x轴上不同于原点的一个动点，求满足条件(
| MA |
| MB |
| AB |
分析：（Ⅰ）根据题意设椭圆的右焦点（c，0 ），则由点P是椭圆上一动点且△F1F2P的面积最大值为2，求出c值，进而可求出a，b值，即得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简，把根与系数的关系代入(
+
•
=0，解得 m=-
=-
，再利用不等式的性质求出m的取值范围．
（Ⅱ）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简，把根与系数的关系代入(
| MA |
| MB) |
| AB |
| 8k2 |
| 1+5k2 |
| 8 | ||
|
解答：解：（Ⅰ）抛物线的焦点为（0，1），设椭圆的右焦点（c，0 ），则由题意
∵点P是椭圆上一动点且△F1F2P的面积最大值为2．
∴c=2，∴a=
，b=1，故椭圆的标准方程为
+y2=1．
（Ⅱ）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简可得 （1+5k2）x2+20k2x-5=0，
∴x1+x2=
，x1•x2=
，
∴（
+
）=（x1-m，y1）+（x2-m，y2 ）=（x1+x2-2m，y1+y2 ）．
由(
+
)⊥
，可得 （
+
）•
=（x1+x2-2m，y1+y2 ）•（x2-x1，y2-y1）
=（x1+x2-2m）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0，
化简可得 x1+x2-2m+k2（x1+x2+4）=0，∴2m=4k2-
，
∴m=-
=-
．∵k2＞0，∴0＜
＜
，
∴-
＜m＜0． 故m的取值范围是[-
，0）．
∵点P是椭圆上一动点且△F1F2P的面积最大值为2．
∴c=2，∴a=
| 5 |
| x2 |
| 5 |
（Ⅱ）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简可得 （1+5k2）x2+20k2x-5=0，
∴x1+x2=
| -20k2 |
| 1+5k2 |
| 20k2-5 |
| 1+5k2 |
∴（
| MA |
| MB |
由(
| MA |
| MB |
| AB |
| MA |
| MB |
| AB |
=（x1+x2-2m）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0，
化简可得 x1+x2-2m+k2（x1+x2+4）=0，∴2m=4k2-
| 20k2(k2+ 1) |
| 1+5k2 |
∴m=-
| 8k2 |
| 1+5k2 |
| 8 | ||
|
| 8 | ||
|
| 8 |
| 5 |
∴-
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
点评：本题以抛物线为载体，考查求椭圆的标准方程，两个向量的数量积公式，不等式的性质，求出m=-
=-
，是解题的关键．
| 8k2 |
| 1+5k2 |
| 8 | ||
|
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